数据的集中趋势和离散程度一、知识点梳理知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。知识点2：表示数据离散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。知识点3：方差的定义在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小。知识点4：标准差方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。知识点5：方差与平均数的性质若x1，x2，…xn的方差是S2，平均数是，则有①x1+b，x2+b…xn+b的方差为S2，平均数是+b②ax1，ax2，…axn的方差为a2s2，平均数是a③ax1+b，ax2+b，…axn+b的方差为a2s2，平均数是a+b二、典型例题剖析1、数据5,7,8,8,9的众数是（）A.5B.7C.8D.9【解析】一组数据中的众数是指出现次数最多的数，8出现次数最多。【答案】选：C．【点评】此题考查的是众数的定义，属于基础题。2、重庆农村医疗保险已经全面实施。某县七个村中享受了住院医疗费用报销的人数分别为：20,24,27,28,31,34,38，则这组数据的中位数是___________解析：根据中位数的定义即可求出，答案：28点评：如果所给的数据没按大小顺序排列，第一步首先按大小顺序排列好，第二步，如果数据的个数是奇数个，中间的那位就是中位数，如果有偶数个，中间的两位的平均数是中位数。3、张老师想对同学们的打字能力进行测试，他将全班同学分成5组.经统计，这5个小组平均每分钟打字的个数如下：100，80，x，90，90.已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是.解析：显然众数是90，所以平均数也是90，故100+80+x+90+90=90×5，得x=90.答案：90.点评：本题考查众数、中位数与平均数，关键是理解众数、中位数与平均数的求法，特别是众数与中位数的求法，容易混淆.4、我市某一周每天的最高气温统计如下：27，28，29，29，30，29，28（单位：C0），则这组数据的极差与众数分别是（A）2,28(B)3,29(C)2,27(D)3,28【解析】极差是数据中的最大值与最小值的差30-27=3,众数是在数据中出现频率最多的数,在这数据中是29,故选B【答案】B【点评】本题考查极差与众数的概念,只要理解相关概念问题不难解决.5、一组数据－1，0，3，5，x的极差是7，那么x的值可能有()A.1个B.2个C.4个D.6个【答案】B6、小华所在的九年级一班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，下列说法错误的是A．1.65米是该班学生身高的平均水平[来源:@中教网*&%#]B．班上比小华高的学生人数不会超过25人C．这组身高数据的中位数不一定是1.65米D．这组身高数据的众数不一定是1.65米【解析】本题考查了一组数据中中位数、平均数、众数的概念及三者的取法，由平均数所反映的意义故A选项正确，由中位数与平均数的关系确定C选项正确，由众数与平均数的关系确定D选项正确，由于平均数受一组数据中的极大、小值的影响，故B选项错误．【答案】B【点评】本题比较灵活的考查了一组数据中的三数（中位数、平均数、众数）及三者之间的关系，难度中等.7、从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对使用寿命进行跟踪调查，结果如下：（单位：年）甲：3、4、5、6、8、8、8、10乙：4、6、6、6、8、9、12、13丙：3、3、4、7、9、10、11、12三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年。请根据结果判断厂家在广告中分别运用平均数、众数、中位数中的哪一种表示集中趋势的特征数。甲：乙：丙：解：众数、平均数...