课时提升作业十五平面向量的实际背景及基本概念(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.下列命题正确的是()A.向量与是相等向量B.共线的单位向量是相等向量C.零向量与任一向量共线D.两平行向量所在直线平行【解析】选C.向量与是相反向量,不是相等向量;共线的单位向量可能是相等向量,也可能是相反向量;零向量与任一向量共线,正确;两平行向量所在直线可能平行,也可能重合.2.下面几个命题:(1)若a=b,则|a|=|b|.(2)若|a|=0,则a=0.(3)若|a|=|b|,则a=b.(4)若向量a,b满足则a=b.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由相等向量的定义知,(1)正确,(3)(4)错误,(2)中a=0,故(2)错误.【误区警示】零向量与实数0的手写方法不同,容易写错.3.在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,则()A.与共线B.与共线C.与相等D.与相等【解析】选B.如图所示:因为D,E分别是AB,AC的中点,由三角形的中位线定理可得:DE∥BC.所以与共线.二、填空题(每小题4分,共8分)4.如图所示,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则||=________.【解析】正方形的对角线长为2,所以||=.答案:5.下列结论中,正确的是________(填序号).①||=||;②||与线段AB的长度不相等;③向量a与b不共线,则a,b都是非零向量.【解析】①正确;②中||等于线段AB的长度;③中,因为零向量与任意向量共线,故a,b不共线,a,b都是非零向量.答案:①③三、解答题6.(10分)在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上,已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b,使b=a.(2)画一个以C为起点的向量c,使|c|=2,并说出c的终点的轨迹是什么.【解析】(1)根据相等向量的定义,所作向量b应与a同向,且长度相等,如图所示.(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c,所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心,2为半径的圆,如图所示.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.若||=||且=,则四边形ABCD的形状为()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形【解析】选C.四边形ABCD中,因为=,所以BA∥CD,且BA=CD,所以四边形ABCD是平行四边形;又||=||,所以平行四边形ABCD是菱形.2.如图所示,梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是()A.=B.=C.=D.=【解析】选D.由梯形的性质知,点P为线段EF的中点,故向量=.二、填空题(每小题5分,共10分)3.如图,四边形ABCD和BCED都是平行四边形,则与相等的向量有________.【解析】在平行四边形ABCD中,BC∥AD,且BC=AD,所以=;同理,在平行四边形BCED中,=.所以与相等的向量是和.答案:和4.矩形ABCD中,点E为BC边的中点,∠AEC的平分线交AD边于点F,若向量||=3,||=8,则||=________.【解析】在矩形ABCD中,AD∥BC,AD=BC=8,因为E为BC的中点,所以BE=BC=×8=4,在Rt△ABE中,AE===5,因为EF是∠AEC的角平分线,所以∠AEF=∠CEF,因为AD∥BC,所以∠AFE=∠CEF,所以∠AEF=∠AFE,所以AE=AF,所以FD=AD-AF=8-5=3.答案:3三、解答题5.(10分)如图,E,F,G,H分别是平行四边形ABCD各边的中点,求图中与向量相等的向量.【解析】因为E,F,G,H分别是平行四边形ABCD各边的中点,所以GHAC,EFAC,所以四边形EFGH是平行四边形,所以MNGH,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=OC=AC.所以与相等的向量有,,,.