数学新设计同步必修四湘教讲义第八章解三角形章末检测含答案

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章末检测一、选择题1.在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinB·sinC，则A的取值范围是()A.(0，]B.[，π)C.(0，]D.[，π)答案C解析由正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，则cosA≥， 0<A<π，∴0<A≤.2.在△ABC中，sinA＝，a＝10，则边长c的取值范围是()A.B.(10，＋∞)C.(0,10)D.答案D解析＝＝，∴c＝sinC.∴0<c≤.3.在△ABC中，若a＝b，A＝2B，则cosB等于()A.B.C.D.答案B解析由正弦定理得＝，∴a＝b可化为＝.又A＝2B，∴＝，∴cosB＝.4.在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶4，则cosC的值为()A.B.－C.D.－答案D解析由正弦定理及sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶4知，a∶b∶c＝3∶2∶4，令a＝3x，则b＝2x，c＝4x(x>0)，根据余弦定理得，cosC＝＝＝－.5.在△ABC中，已知cosAcosB>sinAsinB，则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案C解析由cosAcosB>sinAsinB，得cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)>0，∴A＋B<90°，∴C>90°，C为钝角.6.在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c等于()A.2B.C.2或D.以上都不对答案C解析 a2＝b2＋c2－2bccosA，∴5＝15＋c2－2×c×.化简得：c2－3c＋10＝0，即(c－2)(c－)＝0，∴c＝2或c＝.7.已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是()A.(2，＋∞)B.(－∞，0)C.(－，0)D.(，＋∞)答案D解析由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m>0)，即∴k>.8.△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为()A.B.C.D.9答案C解析设另一条边为x，则x2＝22＋32－2×2×3×，∴x2＝9，∴x＝3.设cosθ＝，则sinθ＝.∴2R＝＝＝，R＝.9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则△ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形答案A解析依题意得<cosA，sinC<sinBcosA，所以sin(A＋B)<sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinB·cosA<0，所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A.10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()A.4∶3∶2B.5∶6∶7C.5∶4∶3D.6∶5∶4答案D解析由题意可设a＝b＋1，c＝b－1.又 3b＝20a·cosA，∴3b＝20(b＋1)·.整理得，7b2－27b－40＝0.解得，b＝5，故a＝6，b＝5，c＝4，即sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.二、填空题11.已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cosC的大小是________.答案解析由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，得c2＝a2＋b2－ab.根据余弦定理，cosC＝＝＝，所以cosC＝.12.在△ABC中，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.答案解析由已知3sinA＝5sinB，利用正弦定理可得3a＝5b.由3a＝5b，b＋c＝2a，利用余弦定理得cosC＝＝－.C∈(0，π)，C＝π.13.在△ABC中，已知cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________.答案解析在△ABC中， cosA＝>0，∴sinA＝. cosB＝>0，∴sinB＝.∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.由正弦定理知＝，∴c＝＝＝.14.太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路上测得小岛在南偏西15°的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.答案解析如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1km.由正弦定理得＝，∴BC＝·sin15°＝(km).设C到直线AB的距离为d，则d＝BC·sin75°＝·＝(km).三、解答题15.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cosB＝.(1)若b＝4，求sinA的值；(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值.解 cosB＝>0，且0<B<π，∴sinB＝＝.(1)若b＝4，由正弦定理得＝，sinA＝＝＝.(2) S△ABC＝acsinB＝4，∴×2×c×＝4，∴c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝.16.在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.(1)求cosA的值；(2)求c的值.解(1)因为a＝3，b＝2，B＝2A，所以在△ABC中，由正弦定理得＝.所以＝.故cosA＝.(2)由(1)知cosA＝，所以sinA＝＝.又因为B＝2A，所以cosB＝2cos2A...

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