第一章误差1问3.142，，分别作为π的近似值各具有几位有效数字？分析利用有效数字的概念可直接得出。解π=3.14159265…记x1，x2，x3=.由π-x1=3.14159…-3.142=-0.00040…知因而x1具有4位有效数字。由π-x2=3.14159…1=-0.00059…知因而x2具有3位有效数字。由π-=3.14159…-3.14285…=-0.00126…知因而x3具有3位有效数字。2已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。分析本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。解利用有效数字与相对误差的关系。这里n=2,a1是1到9之间的数字。3已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？分析本题利用有效数字与相对误差的关系。解a1是1到9间的数字。设x*具有n位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。4计算，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。分析本题应利用有效数字与相对误差的关系。解设取n位有效数字，由…，故a1=9。解不等式知取n=4即可满足要求。5计算，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。解0.1318×10-2-0.1316×10-2×10-5结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的扩大，若通分后再计算：就得到4位有效数字的结果。此例说明，在数值计算中，要特别注意两相近数作减法运算时，有效数字常会严重损失，遇到这种情况，一般采取两种办法：第一，应多留几位有效数字；第二，将算式恒等变形，然后再进行计算。例如，当x接近于0，计算时，应先把算式变形为再计算。又例如，当x充分大时，应作变换6计算，取，采用下列算式计算：（1）；（2）；（3）；（4）.问哪一个得到的结果最好？解显然所以（1）≡（2）≡（3）≡（4），这4个算式是恒等的，但当取计算时，因为（2），（3）都涉及到两个相近数相减，使有效数字损失，而（1）在分母算式上的乘幂数比算式（4）大，所以算式（4）最好，事实上，当取时，有|△，再由的误差也可直接估计出每个算式的误差，显然，算式（4）误差最小。具体计算可行：（1）；（2）（3）；（4）.比较可得用第（4）个算式所得的结果更接近于a。7求二次方程x2-(109+1)x+109=0的根。解由于x2-(109+1)x+109=（x-109）(x-1)，所以方程的两个根分别为x1=109，x2=1但如果应用一般二次方程ax2+bx+c=0的求根公式：由于当遇到b2>>4|ac|的情形时，有，则用上述公式求出的两个根中，总有一个因用了两个相近的近似数相减而严重不可靠，如本例若在能将规格化的数表示到小数点后8位的计算机上进行计算，则-b=109×1010+0.0000000001×1010，由于第二项最后两位数“01”在机器上表示不出来，故它在上式的计算中不起作用，即在计算机运算时，-b=109.通过类似的分析可得所以，求得的两个根分别为显然，根x2是严重失真的。为了求得可靠的结果，可以利用根与系数的关系式：，在计算机上采用如下公式：其中，sgn（b）是b的符号函数，当b≥0时sgn（b）=1；当b<0时，sgn（b）=-1。显然，上述求根公式避免了相近数相减的可能性。8当N充分大时，如何计算分析函数的原函数已知，我们自然考虑用Newton-Leibniz公式求这个定积分的值。由于N很大，这样会遇到两个相近的数相减，因此，应采用一些变换公式来避免这种情况。解若用定积分的Newton-Leibniz公式计算此题，有，则当N充分大时，因为arctan（N+1）和arctanN非常接近，两者相减会使有效数字严重损失，从而影响计算结果的精度，这在数值计算中是要尽量避免的，但是通过变换计算公式，例如：令tanθ1=N+1,tanθ2=N，则由,得就可以避免两相近数相减引起的有效数字损失，从而得到较精确的结果。所以，当N充分大时，用计算积分的值较好。9计算积分.分析数值计算中应采用数值稳定的算法，因此在建立算法时，应首先考虑它的稳定性。解利用分部积分法，有得递推公式：（1）利用公式（1）计算In，由于初值I0有误差，不妨设求I0的近似值时有大小为ε的误差，即则由递推公式（1）得┊显然初始数据的误差ε是按n!的倍数增长的，误差传播得快，例如当n=10时，10！≈3.629×106,，这表明I10时已把初始误差ε扩大了很多倍，从而的误差已把I10的真值淹没掉了，计算结果完全失真。但如果递推公式（1）改成于是，在从后往前计算时，In的误...