2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典第五章一元函数的导数及其应用单元检测B解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知函数的图象如图所示，下面四个图象中的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据函数y＝xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可【详解】由函数y＝xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增，当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减，当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减，当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．故选C．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．属于基础题．2．若函数，则与的大小关系是（）A．B．C．D．不确定【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，求出，进而可判断出函数单调性，得出结果.【详解】因为，所以，故，解得，所以，因此，函数单调递增；故.故选B【点睛】本题主要考查导数的计算以及导数的应用，熟记导数计算公式、以及导数方法判断函数单调性即可，属于常考题型.3．设直线与函数，的图象分别交于点，，则当达到最小时的值为（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】【分析】将，构建新函数，对新函数进行求导，分析单调性，求出极小值，则可求得达到最小值时候的值.【详解】令，故的最小值即为的最小值，∴对求导有：，令有：，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，故选：B【点睛】本题需要学生构建新函数，将原题中两函数间的最小值问题，转化为新函数的最小值问题，考查了学生对运用导数处理函数最值问题的能力.需要有较强的转化化归思想，为容易题.4．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，已知函数，的部分图像如图所示，则的解析式可能为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】首先观察图象，可知其关于原点对称，得到函数为奇函数，从而排除A，D；之后再利用图象的变化趋势，可以排除B，得出正确选项.【详解】由已知，图象关于原点对称，故函数为奇函数，排除A，D；又因为随着自变量的增大，函数值趋近于0，排除B选项，故选：C.【点睛】该题考查的是有关根据函数图象选择函数解析式的问题，涉及到的知识点有观察函数图象的对称性，得到与其对应的奇偶性，观察函数解析式，排除不正确的选项，结合随着自变量的增大，函数值的变化趋势排除不正确选项，求得结果，在选择过程中，注意全局看图，属于中档题目.5．曲线上的点到直线的最短距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.设切点为，利用导数的几何意义求得切点，再利用点到直线的距离公式即可得出结果.【详解】设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.设切点为，对函数求导得，由，可得，则，所以，切点为.则点到直线的距离.曲线上的点到直线的最短距离是.故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离、点到直线的距离公式，属于中档题.6．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（）A．B．1C．或3D．3【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义求出曲线在处的切线，将切线斜率代入到中，求出切点坐标，根据切点在曲线上可得的值.【详解】由得，，故，故切线方程为.由得.令，解得.代入切线方程，求得切点为或.将切点坐标代入，求得或.故选：C.7．已知函数.过点引曲线的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若，则的极大值点为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】设切点的横坐标为，利用切点与点连线的斜率等于曲线在切点处切线的斜率，利用导数建立有关的方程，得出的值，再由得出两切线的斜率之和为零，于此得出的值，再利用导数求出函数的极大值点．【详解】设切点坐标为， ，∴，即，解得或. ，∴，即，则，.当或时，；当时，.故的极大值点为....